| Egor | Дата: Суббота, 24.01.2015, 11:08 | Сообщение # 1 |
|
Лейтенант
Группа: Проверенные
Сообщений: 66
Награды: 0
Репутация: 0
Статус: Offline
| Всероссийская и районная олимпиада школьников по математике 9 класс с решениями и ответами
Школьный тур и школьный этап, олимпиадные задания 2015, 2016, 2017, 2018 учебного года
Математические олимпиады вы можете смотреть и решать онлайн, а также можно бесплатно скачать к себе на компьютер и решать в свободное время дома или в школе.
Авторы заданий: Дробышев, Кенгуру, Узорова, Нефедова, Белицкая, Орг, Балаян, Шевкин,
1 и 2 полугодие. Школа России. ФГОС
 Посмотреть и бесплатно скачать Ответы и Решения Олимпиады
1 тур
1. Найти количество натуральных чисел, не превосходящих 1000,
не делящихся ни на 7, ни на 11.
2. На листе бумаги написаны тридцать три минуса. За один раз можно изменить любые четыре из уже написанных знаков на противоположные - минус на плюс и наоборот.
Можно ли за несколько раз добиться, чтобы все знаки стали плюсами?
3. Расставить на шахматной доске 8 на 8 клеток несколько коней так, чтобы каждый из них бил ровно четырёх других.
4. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы А и D равны, а серединные перпендикуляры к сторонам АВ и CD пересекаются на стороне AD.
Доказать, что АС=BD.
5. Найти все простые числа р такие, что числа р +10 и р + 14 также просты.
2 тур
1. Можно ли выписать в ряд семь некоторых целых чисел так, чтобы сумма любых трёх идущих подряд чисел была отрицательной, а сумма всех - положительной?
2. Решить уравнение: ( х + а ) ( х + 2а ) ( х + За ) ( х + 4а ) = 360а 4.
3. Пусть точки Р и О - основания перпендикуляров, опущенных из вершины В треугольника АВС на биссектрисы углов ВАС и ВСА соответственно, а точки М и N - середины сторон АВ и ВС.
Доказать, что длина ломаной PMNQ равна половине периметра треугольника АВС.
4. В некоторой трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований трапеции, а угол между диагоналями равен 60 градусов. Доказать, что эта трапеция равнобокая.
5. Найти все трехзначные числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.
6. Перед Бабой Ягой и Кащеем Бессмертным лежат две кучи мухоморов, в одной 100 штук, а в другой 150 штук. Эти персонажи по очереди берут грибы из куч, за один раз можно взягь любое ненулевое число грибов из одной из куч. Пропускать ход нельзя, выигрывает тот, после хода которого грибов не останется. Первой ходит Баба Яга.
Кто из игроков выиграет при правильной игре?
3 тур
1. Найти все решения уравнения |х2 – 4| + |х2 – 9| = 5.
2. Баба Яга и Кащей Бессмертный собирали мухоморы. Общее число крапинок на мухоморах Бабы Яги оказалось в 13 раз больше, чем у Кащея. Когда Баба Яга отдала Кащею мухомор с наименьшим количеством крапинок, на её мухоморах стало в 8 раз больше крапинок, чем у Кащея.
Доказать, что сначала у Бабы Яги было не более 23 мухоморов.
3. Пусть Р и Q — середины сторон АВ и CD четырёхугольника ABCD, М и N — середины диагоналей АС и BD.
Докажите, что если прямые MN и PQ перпендикулярны, то ВС = AD.
4. Перед боем у Василия Ивановича и Петьки было поровну патронов. Василий Иванович израсходовал в бою в 8 раз меньше патронов, чем Петька, а осталось у него в 9 раз больше патронов, чем у Петьки. Доказать, что изначально количество патронов у Василия Ивановича делилось на 71.
5. Один рабочий может выполнить работу за 4 часа, а другой — за 6 часов.
Сколько должен работать третий рабочий, чтобы сделать эту работу, если его производительность равна средней производительности первых двух.
|
| |
| |
| Egor | Дата: Суббота, 24.01.2015, 11:09 | Сообщение # 2 |
|
Лейтенант
Группа: Проверенные
Сообщений: 66
Награды: 0
Репутация: 0
Статус: Offline
| Олимпиадные задания по математике 9 класс. Вариант 2
Олимпус - Зимняя, осенняя и весенняя сессия
Городской и муниципальный этап
1.
Корень из числа 49 можно извлечь по такой «формуле»: ? 49 = 4 + ?9.
Существуют ли другие двузначные числа, квадратные корни из которых извлекаются аналогичным образом и являются целыми? Укажите все такие двузначные числа.
2.
ABC – равнобедренный треугольник с вершиной А. ?А=27°. Точка D симметрична точке В относительно А. Чему равен угол ?BCD?
3.
Мальчик стоит на автобусной остановке и мёрзнет, а автобуса нет. Ему хочется пройтись до следующей остановки. Мальчик бегает вчетверо медленнее автобуса и может увидеть автобус на расстоянии 2 км. До следующей остановки ровно километр. Имеет ли смысл идти, или есть риск упустить автобус?
4.
Про числа a и b известно, что a = b+ 1. Может ли оказаться так, что a4 = b4?
5.
Какое наименьшее количество клеток квадрата 5 x 5 нужно закрасить, чтобы в любом квадрате 3 x 3, являющемся его частью, было ровно 4 закрашенных клетки?
6.
Найти все решения уравнения |х2 – 4| + |х2 – 9| = 5.
7.
Баба Яга и Кащей Бессмертный собирали мухоморы. Общее число крапинок на мухоморах Бабы Яги оказалось в 13 раз больше, чем у Кащея. Когда Баба Яга отдала Кащею мухомор с наименьшим количеством крапинок, на её мухоморах стало в 8 раз больше крапинок, чем у Кащея. Доказать, что сначала у Бабы Яги было не более 23 мухоморов.
8.
Пусть Р и Q — середины сторон АВ и CD четырёхугольника ABCD, М и N — середины диагоналей АС и BD. Докажите, что если прямые MN и PQ перпендикулярны, то ВС = AD.
9.
Перед боем у Василия Ивановича и Петьки было поровну патронов. Василий Иванович израсходовал в бою в 8 раз меньше патронов, чем Петька, а осталось у него в 9 раз больше патронов, чем у Петьки. Доказать, что изначально количество патронов у Василия Ивановича делилось на 71.
10.
Один рабочий может выполнить работу за 4 часа, а другой — за 6 часов. Сколько должен работать третий рабочий, чтобы сделать эту работу, если его производительность равна средней производительности первых двух.
|
| |
| |
| Egor | Дата: Суббота, 24.01.2015, 11:10 | Сообщение # 3 |
|
Лейтенант
Группа: Проверенные
Сообщений: 66
Награды: 0
Репутация: 0
Статус: Offline
| Решение задач по математике 9 класс
1.
Да, существуют: 64 и 81.
Рассмотрим все двузначные числа, являющиеся квадратами целых чисел. Корни из чисел 16, 25 и 36 не могут быть извлечены указанным способом, так как квадратные корни из их последних цифр не являются целыми. Числа 49, 64 и 81 являются решениями.
Ответ в задаче не изменится, если не требовать, чтобы корень был целым. 10a + b = a2 + 2a?b + b. Так как в левой части равенства стоит целое число, то и число, стоящее в правой части, должно быть целым. Отсюда следует, что b = 0, 1, 4 или 9, то есть a + ?b - целое число.
2.
Ответ: 90°.
3.
Ответ: имеет смысл идти.
Пусть мальчик пошел к следующей остановке и в какой-то момент заметил автобус. Скорость автобуса в четыре раза больше скорости мальчика, поэтому за одно и то же время автобус проезжает расстояние в четыре раза больше. Пусть мальчик пробежит х км, тогда автобус проедет 4х км. В случае, если они двигаются навстречу друг другу, до встречи с автобусом мальчик пробежит 2/5 км. Это значит, что, отойдя от остановки не более, чем на 2/5 км, мальчик сможет успеть на автобус, побежав назад.
В случае, если автобус догоняет мальчика, мальчик успеет пробежать 2/3 км до момента, когда автобус его догонит.
Это означает, что он сможет успеть на автобус, если до следующей остановки осталось не более 2/3 км, то есть, если он успел пройти не менее 1/3 км до момента, когда заметил автобус. Так как, 1/3 < 2/5 , то у мальчика всегда будет возможность успеть на автобус и имеет смысл идти.
4.
Ответ: да, может. Пусть а = 1/2, b = -1/2, тогда a4 = b4 = 1/16. Можно доказать, что этот пример – единственный (от учащихся это не требуется). Действительно, a4 = b4 ? |a| = |b|. Случай a = b невозможен, случай a = -b дает указанный пример.
5.
Ответ: 7 клеток.
|
| |
| |
