Задачи с ответами по теме: Описанные окружности Школа и ВУЗ Народный портал 2025-2026 год

[ Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]

Страница 1 из 1
1

Задачи с ответами по теме: Описанные окружности

Смедегорд

Дата: Пятница, 27.01.2017, 09:40 | Сообщение # 1

Майор

Группа: Проверенные

Сообщений: 85

Награды: 0

Репутация: 0

Статус: Offline

Задачи с решениями и правильными ответами по теме: Описанные окружности

Поготовка школьников старших классов к ЕГЭ и ГИА "Вписанные и описанные окружности в треугольниках и четырехугольниках"

Скачать бесплатно решения и правильные ответы на задания в полной версии

1. Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

Правильный ответ на задачу

Пусть меньшая часть окружности равна x, тогда

Больший угол опирается на большую дугу; вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Следовательно, искомый угол равен половине от 5 · 40° или 100°.

Ответ: 100.
.

2. Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58°. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Правильный ответ на задачу

Cумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°, поэтому

Ответ: 122.
.

3. Стороны четырехугольника , и стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно , , , . Найдите угол этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Правильный ответ на задачу

вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит

Ответ: 108.
.

4. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4 : 2 : 3 : 6. Найдите угол
A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

Правильный ответ на задачу

Пусть дуга AB равна 4x, тогда

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно,

Ответ: 60.
.

5. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Правильный ответ на задачу

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит,

Ответ: 70.

.

6. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Правильный ответ на задачу

вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит,

Ответ: 110.

.

7. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110°, угол ABD равен 70°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

Правильный ответ на задачу

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно,

Ответ: 40.
.

8. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Правильный ответ на задачу

Треугольник ABC правильный, значит, все его углы равны 60°. Тогда

Ответ: 1.
.

9. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен . Найдите сторону этого треугольника.

Правильный ответ на задачу

Треугольник ABC правильный, значит, все его углы равны 60°. Тогда

Ответ: 3.
.

10. Высота правильного треугольника равна 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Правильный ответ на задачу

Треугольник правильный, значит, все углы равны по . По теореме синусов имеем:

Ответ: 2.
.

11. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 3. Найдите высоту этого треугольника.

Правильный ответ на задачу

треугольник ABC правильный, значит, все углы равны по 60°.

Ответ: 4,5.
.

12. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Правильный ответ на задачу

вписанный угол опирающийся на диаметр окружности, является прямым, значит, – диаметр.

Ответ: 6.
.

13. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Правильный ответ на задачу

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым, значит, AB — диаметр.

Ответ: 8.
.

14. В треугольнике ABC AC = 4, BC = 3, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Правильный ответ на задачу

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым, значит, AB — диаметр.

Ответ: 8.
.

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. Поэтому

Ответ: 2,5.

Прикрепления: 1997898.png (10.1 Kb)

Сообщение отредактировал Смедегорд - Пятница, 27.01.2017, 09:53

Смедегорд

Дата: Пятница, 27.01.2017, 09:41 | Сообщение # 2

Майор

Группа: Проверенные

Сообщений: 85

Награды: 0

Репутация: 0

Статус: Offline

[b]15. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120°. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.

Правильный ответ на задачу

Сумма двух равных углов при основании треугольника равна 60°, поэтому каждый из них равен 30°. Тогда по теореме синусов

Ответ: 2.
.

16. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Правильный ответ на задачу

Заметим, что Значит, треугольник AOB — равносторонний. Тогда

Ответ: 6.
.

17. Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 30°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Правильный ответ на задачу

.

По теореме синусов имеем:

Ответ: 1.

18. Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах

Правильный ответ на задачу

По теореме синусов

тогда

Ответ: 30.
.

19. Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 3, равен 30°. Найдите сторону AB этого треугольника.

Правильный ответ на задачу

По теореме синусов:

Ответ: 3.
.

20. Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 150°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Правильный ответ на задачу

Используем теорему синусов:

Ответ: 1.
.

21. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Правильный ответ на задачу

Для нахождения площади треугольника ABC, воспользуемся формулой Герона:

Далее по формуле

Ответ: 25.
.

22. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

Правильный ответ на задачу

Трапеция ABCD — равнобедренная, т. к. вокруг неё описана окружность.

Ответ: 6.
.

23. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Правильный ответ на задачу

Окружность, описанная вокруг трапеции, описана и вокруг треугольника . Это треугольник равнобедренный, угол при вершине равен 120°, углы при основании равны 30°. Найдем его боковую сторону:

откуда Тогда по теореме синусов:

Ответ: 6.
.

24. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Правильный ответ на задачу

высота трапеции где KO и OH — высоты равнобедренных треугольников DOC и AOB. По теореме Пифагора:

Тогда

Ответ: 7.
.

25. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Правильный ответ на задачу

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Больший из оставшихся углов лежит напротив меньшего из указанных в условии. Поэтому он равен 180° − 58° = 122°.

Ответ: 122.

.

26. Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр описанной окружности.

Правильный ответ на задачу

Найдем сторону шестиугольника: 72 : 6 = 12.
Рассмотрим треугольник AOB. Радиус описанной вокруг шестиугольника окружности равен его стороне, а диаметр вдвое больше. Поэтому он равен 24.

Ответ: 24.
.

27. Угол между стороной правильного -угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 54°. Найдите n.

Правильный ответ на задачу

Рассмотрим треугольник равнобедренный AOB. Углы при его основании равны 54°, значит, угол при вершине 72°. Тогда n = 360° : 72° = 5.

Ответ: 5.

.

Скачать бесплатно решения и правильные ответы на задания в полной версии

[/b]

Сообщение отредактировал Смедегорд - Пятница, 27.01.2017, 09:53

Задачи с ответами по теме: Описанные окружности

Страница 1 из 1
1