|
Учебно-методическое пособие ЕГЭ и ГИА по математике
|
|
| Rin | Дата: Вторник, 17.10.2017, 17:54 | Сообщение # 1 |
|
Лейтенант
Группа: Проверенные
Сообщений: 57
Награды: 0
Репутация: 0
Статус: Offline
| Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике. Самаров К.Л., Самарова С.С.
М.: СВАО, УЦ "Резольвента", 2010. Учебно-методические пособия для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике, разработанные в Учебном центре "Резольвента". Формат PDF. 2017-2018 учебный год. ФИПИ. ФГОС. Школа России
Задачи с готовыми домашними заданиями с ответами, пояснениями и решением
 Скачать бесплатно ответы и решения на контрольные задачи
Данные ГДЗ задачи и примеры по математике предназначены для учеников и учителей школы. Учебник можно читать онлайн, скачать на компьютер, а также распечатать на принтере.
Оглавление учебников:
1) УМП для подготовки к ЕГЭ и ГИА. Решение алгебраических уравнений. Самарова С.С. (2010, 11с.)
1. Решение простейших рациональных уравнений
2. Область определения рационального уравнения
3. Решение простейших иррациональных уравнений
4. Область определения иррационального уравнения
5. Рациональные уравнения, сводящиеся к квадратным при помощи замены переменной
6. Иррациональные уравнения, сводящиеся к квадратным при помощи замены переменной
7. Метод уединения радикала
Задачи для самостоятельного решения
2) УМП для подготовки к ЕГЭ и ГИА. Решение рациональных неравенств. Самаров К.Л. (2010, 8с.)
1. Простейшие рациональные неравенства
2. Неравенства, сводящиеся к квадратным, при помощи замены переменной
3. Неравенства, решаемые с помощью разложения многочленов на множители
4. Метод интервалов
5. Комбинированные неравенства
Задачи для самостоятельного решения
3) УМП для подготовки к ЕГЭ и ГИА. Системы уравнений. Самаров К.Л. (2010, 13с.)
1. Метод последовательного исключения неизвестных
2. Простейшие нелинейные системы из двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными
3. Системы, сводящиеся к однородным уравнениям
4. Системы из трех уравнений с тремя неизвестными
5. Линейные системы, содержащие параметр. Число решений системы в зависимости от параметра
6. Системы, содержащие логарифмы
7. Системы, содержащие показательные функции
Задачи для самостоятельного решения
4) УМП для подготовки к ЕГЭ и ГИА. Уравнения и неравенства с модулями. Самаров К.Л. (2010, 9с.)
1. Модуль (абсолютная величина) числа
2. Простейшие уравнения с модулями
3. Уравнения, использующие свойство неотрицательности модуля
4. Простейшие неравенства с модулями
5. Неравенства с модулями, сводящиеся к квадратным неравенствам
6. Уравнения с модулями, содержащие параметр
7. Неравенства с модулями, содержащие параметр
8. Задачи с модулями, связанные с расположением корней квадратного трехчлена в зависимости от параметра
Задачи для самостоятельного решения
5) УМП для подготовки к ЕГЭ и ГИА. Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами. Самарова С.С. (2010, 20с.)
1. Фигуры, ограниченные прямыми линиями
2. Фигуры, ограниченные прямыми и окружностями
3. Фигуры, ограниченные прямыми и параболами
4. Фигуры, ограниченные гиперболами и прямыми
5. Фигуры, заданные неравенствами, содержащими модули
6. Фигуры, заданные системой неравенств
Задачи для самостоятельного решения
6) УМП для подготовки к ЕГЭ. Метод координат на плоскости. Самарова С.С. (2010, 9с.)
1. Уравнение прямой. Угловой коэффициент. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
2. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и параллельной заданной прямой
3. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и перпендикулярной заданной прямой
4. Расстояние между точками координатной плоскости
5. Расстояние от точки до прямой
6. Уравнения касательных к параболе, проходящих через заданную точку
7. Уравнение касательной к параболе, параллельной заданной прямой
8. Уравнение касательной к параболе, перпендикулярной заданной прямой
9. Задачи с параметрами, связанные с расположением вершины параболы
Задачи для самостоятельного решения
7) УМП для подготовки к ЕГЭ. Решение иррациональных неравенств. Самаров К.Л. (2010, 11с.)
1. Простейшие иррациональные неравенства
2. Строгие и нестрогие неравенства
3. Область определения и множество значений арифметического корня n -ой степени
4. Равносильные преобразования неравенств
5. Неравенства, сводящиеся к квадратным, при помощи замены переменной
6. Методы решения типовых примеров и задач
7. Комбинированные неравенства
Задачи для самостоятельного решения
8) УМП для подготовки к ЕГЭ. Решение логарифмических неравенств. Самарова С.С. (2010, 13с.)
1. Область определения логарифмической функции
2. Простейшие логарифмические неравенства
3. Сведение логарифмических неравенств к алгебраическим неравенствам
4. Метод замены переменной
5. Примеры решения типовых задач
6. Комбинированные задачи
Задачи для самостоятельного решения
9) УМП для подготовки к ЕГЭ. Решение логарифмических уравнений. Самарова С.С. (2010, 10с.)
1. Простейшие логарифмические уравнения
2. Область определения логарифмического уравнения
3. Логарифмические уравнения, не содержащие неизвестного в основаниях логарифмов
4. Логарифмические уравнения, содержащие неизвестное в основаниях логарифмов
5. Логарифмические уравнения, сводящиеся к квадратным при помощи замены переменной
6. Комбинированные уравнения
Задачи для самостоятельного решения
10) УМП для подготовки к ЕГЭ. Решение показательных неравенств. Самарова С.С. (2010, 8с.)
1. Область определения и множество значений показательной функции
2. Простейшие показательные неравенства
3. Сведение показательных неравенств к алгебраическим неравенствам
4. Метод замены переменной
5. Примеры решения типовых задач
6. Комбинированные задачи
Задачи для самостоятельного решения
11) УМП для подготовки к ЕГЭ. Решение показательных уравнений. Самарова С.С. (2010, 9с.)
1. Простейшие показательные уравнения
2. Применение метода замены переменной
3. Решение показательных уравнений при помощи сведения их к алгебраическим уравнениям
4. Показательные уравнения с параметром
5. Примеры решения типовых задач
6. Комбинированные задачи
Задачи для самостоятельного решения
12) УМП для подготовки к ЕГЭ. Решение тригонометрических уравнений. Самаров К.Л. (2010, 20с.)
1. Решение простейших тригонометрических уравнений
2. Применение формул для тригонометрических функций двойного угла при решении тригонометрических уравнений
3. Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью разложения на множители
4. Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью основного тригонометрического тождества
5. Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью формул: "сумма синусов", "разность синусов", "сумма косинусов", "разность косинусов"
6. Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью формул: "синус суммы", "синус разности", "косинус суммы", "косинус разности"
7. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям
8. Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью формул приведения
9. Тригонометрические уравнения, содержащие модули
10. Комбинированные задачи
Задачи для самостоятельного решения
13) УМП для школьников. Задачи на проценты. Самаров К.Л. (2010, 6с.)
1. Понятие процента от числа
2. База для нахождения процентов
3. Налог на добавленную стоимость (НДС)
4. Месячный темп инфляции
5. Примеры решения типовых задач
Задачи для самостоятельного решения
14) УМП для школьников. Квадратный трехчлен. Самаров К.Л. (2010, 15с.)
1. Квадратный трехчлен. Квадратное уравнение
2. Выделение полного квадрата
3. Формула корней квадратного уравнения. Дискриминант
4. Прямая и обратная теоремы Вийета
5. Разложение квадратного трехчлена на множители
6. График квадратного трехчлена. Координаты вершины параболы, точки пересечения параболы с осями координат
7. Примеры решения задач
Задачи для самостоятельного решения
15) УМП для школьников. Прогрессии. Самаров К.Л. (2010, 10с.)
1. Арифметическая прогрессия. Разность арифметической прогрессии. Возрастающая арифметическая прогрессия. Убывающая арифметическая прогрессия
2. Геометрическая прогрессия. Знаменатель геометрической прогрессии. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
3. Формула общего члена арифметической прогрессии. Характеристическое свойство арифметической прогрессии
4. Формула общего члена геометрической прогрессии. Характеристическое свойство геометрической прогрессии
5. Сумма n первых членов арифметической прогрессии
6. Сумма n первых членов геометрической прогрессии
7. Примеры решения задач
Задачи для самостоятельного решения
|
| |
| |
| Rin | Дата: Вторник, 17.10.2017, 17:54 | Сообщение # 2 |
|
Лейтенант
Группа: Проверенные
Сообщений: 57
Награды: 0
Репутация: 0
Статус: Offline
| Пример 1. Решить уравнение
3 2x −1 2x + 1
− = 2 . (1)
x + 2 x + 1 x + 3x + 2
Решение. Разложим на множители квадратный трехчлен, стоящий в зна-
менателе дроби из правой части уравнения. Для этого сначала нужно найти
корни квадратного трехчлена:
−3 ± 32 − 4 ⋅ 2 −3 ± 1
x 2 + 3 x + 2 = 0 ⇔ x1,2 = = ⇔ x1 = −2, x2 = −1.
2 2
Следовательно,
x 2 + 3 x + 2 = ( x + 1)( x + 2 )
и уравнение (1) принимает форму
3 2x −1 2x + 1
− = . (2)
x + 2 x + 1 ( x + 1)( x + 2 )
Область допустимых значений (ОДЗ) уравнений (1) и (2) имеет вид:
{ x ≠ −1, x ≠ −2}.
Умножая обе части уравнения (2) на выражение
( x + 1)( x + 2 ) ,
и, производя необходимые сокращения, получаем:
3 ( x + 1) − ( 2 x − 1)( x + 2 ) = 2 x + 1 ⇔ 3 x + 3 − ( 2 x 2 − x + 4 x − 2 ) = 2 x + 1 ⇔
⇔ 3 x + 3 − 2 x 2 + x − 4 x + 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔ −2 x 2 − 2 x + 4 = 0 ⇔
−1 ± 12 + 4 ⋅ 2 −1 ± 3
⇔ x + x − 2 = 0 ⇔ x1,2 =
2
= ⇔ x1 = −2, x2 = 1.
2 2
Корень x1 = −2 не входит в ОДЗ и должен быть отброшен.
Ответ: 1.
Пример 2. Решить уравнение
x−3 x2 + 4x + 9
+ = −2 (3)
x2 + 4x + 9 x−3
Решение. В результате замены переменного
x−3
= y,
x + 4x + 9
2
совершенной в уравнении (3), получаем:
1
y+ = −2 ⇒ y 2 + 1 = −2 y ⇔ y 2 + 2 y + 1 = 0 ⇔
y
⇔ ( y + 1) = 0 ⇔ y = −1.
2
Следовательно,
x−3
= −1 ⇒ x − 3 = − ( x 2 + 4 x + 9 ) ⇔ x 2 + 4 x + 9 + x − 3 = 0 ⇔
x + 4x + 9
2
⇔ x 2 + 5 x + 6 = 0 ⇔ x1 = −3, x2 = −2.
Проверка показывает, что оба найденных значения удовлетворяют исходному
уравнению (3).
Ответ: −3, − 2.
Пример 3. Решить уравнение
2 x 2 + 3x − 5 2 x 2 + 3x + 9 + 3 = 0 (4)
Решение. Уравнение (4) проще всего решить при помощи замены пере-
менного
2 x 2 + 3x + 9 = y . (5)
В этом случае
2 x 2 + 3x + 9 = y 2
и уравнение (3) принимает вид
y2 − 9 − 5 y + 3 = 0 ⇔ y2 − 5 y − 6 = 0 ⇔
5 ± 52 + 4 ⋅ 6 5 ± 7
⇔ y1,2 = = ⇔ y1 = −1, y2 = 6.
2 2
В силу того, что переменная y , определенная по формуле (5), является неотри-
цательным числом, значение y1 = −1 должно быть отброшено. Следовательно,
y = 6 ⇒ 2 x 2 + 3 x + 9 = y 2 = 36 ⇔ 2 x 2 + 3 x + 9 − 36 = 0 ⇔
−3 ± 15 18 9
⇔ 2 x 2 + 3 x − 27 = 0 ⇔ x1,2 = ⇔ x1 = − = − , x2 = 3.
4 4 2
9
Ответ: − , 3.
2
Пример 4. Решить уравнение
x 3 x
− =1 (5)
1− x 2 1− x
Решение. Уравнение (5) проще всего решить при помощи замены пере-
менного
x
= y. (6)
1− x
В этом случае
x
= y2
1− x
и уравнение (5) принимает вид
3
y2 − y − 1 = 0 ⇔ 2 y2 − 3y − 2 = 0 ⇔
2
3 ± 25 3 ± 5 2 1
⇔ y1,2 = = ⇔ y1 = − = − , y2 = 2.
4 4 4 2
В силу того, что переменная y , определенная по формуле (6), является неотри-
1
цательным числом, значение y1 = − должно быть отброшено. Следовательно,
2
x x 4
y=2 ⇒ = y2 = 4 ⇔ = 4 ⇒ x = 4 − 4 x ⇔ 5x = 4 ⇔ x = .
1− x 1− x 5
4
Ответ: .
5
|
| |
| |
| Rin | Дата: Вторник, 17.10.2017, 17:55 | Сообщение # 3 |
|
Лейтенант
Группа: Проверенные
Сообщений: 57
Награды: 0
Репутация: 0
Статус: Offline
| Пример 5. Решить уравнение
24
( x + 2) + = 18
2
(7)
x + 4x
2
Решение. Уравнение (7) проще всего решить при помощи замены пере-
менного
x2 + 4x = y . (8)
В этом случае
( x + 2) = x2 + 4x + 4 = y + 4 ,
2
и уравнение (7) принимает вид
24 24
y+4+ = 18 ⇔ y + − 14 = 0 ⇔ y 2 − 14 y + 24 = 0 ⇔
y y
14 ± 10
⇔ y1,2 = ⇔ y1 = 2, y2 = 12.
2
При y1 = 2 из формулы (8) получаем
−4 ± 24
x 2 + 4 x = 2 ⇔ x 2 + 4 x − 2 = 0 ⇔ x1,2 = = −2 ± 6 ⇔
2
⇔ x1 = −2 − 6, x2 = −2 + 6.
При y2 = 12 из формулы (8) получаем
−4 ± 8
x 2 + 4 x = 12 ⇔ x 2 + 4 x − 12 = 0 ⇔ x3,4 = ⇔ x3 = −6, x4 = 2.
2
Ответ: −2 − 6; − 2 + 6; − 6; 2
Пример 6. Решить уравнение
5− x = x−3 (9)
Решение. Заметив, предварительно, что правая часть уравнения (9) должна
быть неотрицательным числом и ОДЗ уравнения имеет вид:
x ≥ 3, (10)
возведем обе части уравнения в квадрат:
5 − x = x − 3 ⇒ 5 − x = x2 − 6x + 9 ⇒ x2 − 5x + 4 = 0 ⇒
⇒ x1 = 1, x2 = 4.
В силу (10) случай x1 = 1 должен быть отброшен. Простая проверка показывает,
что значение x2 = 4 является корнем исходного уравнения.
Ответ: 4 .
Пример 7. Решить уравнение
x+5
= x+2 (11)
3x − 1
Решение. Заметив, предварительно, что оба подкоренных выражения в
уравнении (9) должны быть неотрицательными числами, возведем обе части
уравнения в квадрат:
x+5 x+5
= x+2⇒ = x + 2 ⇒ x + 5 = ( x + 2 )( 3 x − 1) ⇔
3x − 1 3x − 1
−4 ± 10 7
⇔ x + 5 = 3 x 2 + 6 x − x − 2 ⇔ 3 x 2 + 4 x − 7 = 0 ⇔ x1,2 = ⇔ x1 = − , x2 = 1.
6 3
7
Значение x1 = − должно быть отброшено, поскольку в этом случае подкорен-
3
ное выражение из правой части уравнения (11) отрицательно. Простая провер-
ка показывает, что значение x2 = 1 является корнем исходного уравнения.
Ответ: 1 .
Пример 8. Решить уравнение
7 x2 + x
2x + = 0. (12)
x +1
Решение. Переписывая уравнение (12) в виде
7 x2 + x
= −2 x , (13)
x +1
заметим, что правая часть уравнения (13) должна быть неотрицательной, т.е.
должно выполняться неравенство
−2 x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 . (14)
Также, в силу запрета деления на нуль, должно выполняться соотношение
x ≠ −1 . (15)
Для того, чтобы найти корни уравнения (13), возведем обе его части в квадрат:
7 x2 + x
= 4 x 2 ⇒ 7 x 2 + x = 4 x 2 ( x + 1) ⇔ 4 x 2 ( x + 1) − 7 x 2 − x = 0 ⇔
x +1
⇔ x 4 x ( x + 1) − 7 x − 1 = 0 ⇔ x 4 x 2 + 4 x − 7 x − 1 = 0 ⇔ x ( 4 x 2 − 3 x − 1) = 0 ⇔
3±5 1
⇔ x = 0 ∪ 4 x 2 − 3 x − 1 = 0 ⇔ x1 = 0, x2,3 = ⇔ x1 = 0, x2 = − , x3 = 1.
8 4
В соответствии с (14) значение x3 = 1 должно быть отброшено. Простая провер-
1
ка показывает, что значения x1 = 0, x2 = − являются корнями исходного урав-
4
нения.
1
Ответ: 0; − .
4
Пример 9. Решить уравнение
1 1 2
− = . (16)
x −2 x 3
Решение. В результате замены переменного
x = y, y ≥ 0, (17)
совершенной в уравнении (16), получаем:
1 1 2 3 y − 3( y − 2 ) − 2 y ( y − 2 )
− = ⇔ = 0 ⇒ 3 y − 3( y − 2) − 2 y ( y − 2) = 0 ⇔
y−2 y 3 3y ( y − 2)
⇔ 3 y − 3 y + 6 − 2 y 2 + 4 y = 0 ⇔ −2 y 2 + 4 y + 6 = 0 ⇔ y 2 − 2 y − 3 = 0 ⇔
2±4
⇔ y1,2 = ⇔ y1 = −1, y2 = 3.
2
В силу (17) значение y1 = −1 должно быть отброшено. Для значения y2 = 3 по-
лучаем:
x = 3, x = 9.
Простая проверка показывает, что найденное значение является корнем исход-
ного уравнения.
Ответ: 9 .
Пример 10. Решить уравнение
4 + x 26 − x 2 = x − 2 . (18)
Решение. Сначала заметим, что правая часть уравнения (18) должна быть
неотрицательной, т.е. должно выполняться неравенство
x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2. (19)
Теперь возведем обе части уравнения (18) в квадрат:
4 + x 26 − x 2 = x − 2 ⇒ 4 + x 26 − x 2 = ( x − 2 ) ⇔ 4 + x 26 − x 2 = x 2 − 4 x + 4 ⇔
2
⇔ x 26 − x 2 = x 2 − 4 x ⇔ x 26 − x 2 − x 2 + 4 x = 0 ⇔ x ( )
26 − x 2 − x + 4 = 0 ⇔
⇔ x1 = 0 ∪ 26 − x 2 − x + 4 = 0 ⇔ x1 = 0 ∪ 26 − x 2 = x − 4.
Остается решить уравнение
26 − x 2 = x − 4. (20)
Правая часть уравнения (20) должна быть неотрицательной, т.е. должно выпол-
няться неравенство
x − 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4. (21)
Возводя обе части уравнения (20) в квадрат, получим:
26 − x 2 = x − 4 ⇒ 26 − x 2 = x 2 − 8 x + 16 ⇔ 2 x 2 − 8 x − 10 = 0 ⇔
⇔ x 2 − 4 x − 5 = 0 ⇔ x2 = −1, x3 = 5.
Итак, мы нашли три значения:
x1 = 0, x2 = −1, x3 = 5.
В силу (19) и (21), значения x1 и x2 должны быть отброшены. Простая проверка
показывает, что значение x3 = 5 является корнем исходного уравнения.
Ответ: 5 .
Пример 11. Решить уравнение
3 x + 10 − x + 2 = 2. . (22)
Решение. Возводя обе части уравнения (22) в квадрат, получим
3 x + 10 − x + 2 = 2 ⇒ 3 x + 10 − 2 3 x + 10 x + 2 + x + 2 = 4 ⇒
.
⇒ 4 x + 8 = 2 3 x + 10 x + 2 ⇒ 2 x + 4 = 3 x + 10 x + 2.
Теперь возведем в квадрат обе части полученного уравнения:
2 x + 4 = 3 x + 10 x + 2 ⇒ ( 2 x + 4 ) = ( 3 x + 10 )( x + 2 ) ⇒
2
⇒ 4 x 2 + 16 x + 16 = 3 x 2 + 10 x + 6 x + 20 ⇒ x 2 − 4 = 0 ⇒ x1 = −2, x2 = 2.
Проверка показывает, что оба найденных значения удовлетворяют исходному
уравнению.
Ответ: −2; 2.
|
| |
| |
| Rin | Дата: Вторник, 17.10.2017, 17:57 | Сообщение # 4 |
|
Лейтенант
Группа: Проверенные
Сообщений: 57
Награды: 0
Репутация: 0
Статус: Offline
| ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Решить уравнения:
x −1 1 2 + 3x
1. 1+ + = ,
x + 2 x x ( x + 2)
2t − 1 4t + 3
2. 2+ = ,
t + 2 2t + 1
2y +1 y +1 5y + 4
3. + = ,
y − 1 2 y + 1 ( y − 1)( 2 y + 1)
4. 12 − 2 x + x 2 = x + 2 ,
5. −11 + 8 x − x 2 = x − 3 ,
x + 10
6. = 5x − 6 ,
x +1
x2 + 8x
7. x+ = 0,
x+3
1 2
8. = ,
x 1− x
2 2
9. = ,
x 4− x
10. 3x = x3 + 8 x 2 − 6 x ,
1 − 3x 1
11. = x− ,
3x 3
12. x + x 3 + 2 x 2 − 12 x = 0 ,
3 − 4x
13. = 8x − 6 ,
x
14. x 2 − 24 − 2 x 2 − 24 = 15 ,
15. 13 − x 2 − 2 13 − x 2 = 3 ,
16. x 2 − 21 − x 2 − 21 = 2 ,
17. 10 − x 2 − 10 − x 2 = 6 ,
3
18. + 2 x +1 = 5,
x +1 +1
1 1 1
19. − = ,
x −1 x 6
4
20. 2− x + = 2,
2− x +3
21. 2x + 6 x2 + 1 = x + 1,
x −1 x +1 3
22. − = ,
x +1 x −1 2
x −1 2x + 1
23. 3 − = 2,
2x + 1 x −1
24. 4 + x 9 x 2 + 16 = − x + 2 ,
x+4 1 − 2x
25. 2 − = 1,
1 − 2x x+4
26. 1 + x 2 x 2 − 17 = x − 1,
2x + 3 x−2
27. −3 = 2,
x−2 2x + 3
24
28. x2 + 4x + − 17 = 0 ,
x + 4x
2
(x − 2 x ) − 2 ( x2 − 2x ) − 3 = 0 ,
2 2
29.
8
30. x 2 − 3x − + 2 = 0,
x − 3x
2
(x − 6 x ) + 14 ( x 2 − 6 x ) + 45 = 0 ,
2 2
31.
32. x + 1 − 9 − x = 2 x − 12.
Скачать бесплатно правильные ответы и решения на контрольные задачи
|
| |
| |
