|
Шпаргалки по Геометрии 7-9 класс
|
|
| Heird | Дата: Четверг, 14.12.2017, 22:27 | Сообщение # 1 |
|
Майор
Группа: Проверенные
Сообщений: 97
Награды: 0
Репутация: 0
Статус: Offline
| Шпаргалки по Геометрии 7-9 класс
Виды углов:
· острый угол – от 0 до 90 градусов;
· прямой угол – равен 90 градусам;
· тупой угол – от 90 до 180 градусов;
· развернутый угол (прямая) – равен 180 градусам.
Смежные углы – два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением друг друга.
Свойство смежных углов:
· сумма смежных углов равна 180 градусам.
Вертикальные углы – два угла, у которых стороны являются продолжением друг друга.
Свойство вертикальных углов:
· вертикальные углы равны.
Перпендикулярные прямые – прямые пересекающиеся под углом 90 градусов.
Перпендикуляр – отрезок, проведенный из точки к прямой под углом 90 градусов.
Теорема о перпендикуляре: из точки, не лежащей на прямой можно провести перпендикуляр к этой прямой и при том только один.
Периметр многоугольника – сумма длин всех его сторон.
Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех сторон и трех углов.
Виды треугольников:
· остроугольный треугольник – все три угла острые;
· прямоугольный треугольник – один угол прямой и два угла острые;
· тупоугольный треугольник – один угол тупой и два угла острые.
Равные треугольники – треугольники, которые можно совместить наложением.
Свойства равных треугольников:
· если два треугольника равны, то их элементы (углы и стороны) попарно равны;
· в равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы и наоборот, напротив равных углов лежат равные стороны.
Признаки равенства треугольников:
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны;
2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны;
3. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий угол пополам.
Медиана – отрезок, выходящий из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий эту сторону пополам.
Высота – отрезок, выходящий из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, под углом 90 градусов.
Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны, а третья является основанием.
Свойства равнобедренного треугольника:
· углы при основании равны;
· биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
|
| |
| |
| Heird | Дата: Четверг, 14.12.2017, 22:29 | Сообщение # 2 |
|
Майор
Группа: Проверенные
Сообщений: 97
Награды: 0
Репутация: 0
Статус: Offline
| Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.
Свойства равностороннего треугольника:
· углы равны по 60 градусов;
· биссектриса равностороннего треугольника, проведенная к любой стороне, является медианой и высотой.
Параллельные прямые – прямые, которые не пересекаются.
Секущая – прямая, пересекающая параллельные прямые.
Виды углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей:
· накрест-лежащие;
· соответственные;
· односторонние.
Свойства параллельных прямых:
· при пересечении параллельных прямых секущей накрест-лежащие углы равны;
· при пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны;
· при пересечении параллельных прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам.
Признаки параллельности прямых:
· если при пересечении двух прямых секущей накрест-лежащие углы равны, то прямые параллельны;
· если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны;
· если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам, то прямые параллельны.
Аксиома о параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и при том только одну.
Следствия из аксиомы:
· если секущая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересечет и вторую параллельную прямую;
· если каждая из двух прямых параллельна третьей, то они параллельны между собой.
Теорема о сумме углов треугольника: сумма углов треугольника равна 180 градусам.
Внешний угол треугольника – угол, смежный с одним из углов треугольника.
Свойство внешнего угла треугольника:
· внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним.
|
| |
| |
| Heird | Дата: Четверг, 14.12.2017, 22:30 | Сообщение # 3 |
|
Майор
Группа: Проверенные
Сообщений: 97
Награды: 0
Репутация: 0
Статус: Offline
| Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: в треугольнике напротив бОльшей стороны лежит бОльший угол и наоборот, напротив бОльшего угла лежит бОльшая сторона.
Теорема о сторонах треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один угол равен 90 градусам.
Свойства прямоугольного треугольника:
· сумма острых углов треугольника равна 90 градусам;
· в прямоугольном треугольнике катет, лежащий на против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы;
· если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30 градусов.
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
1. если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;
2. если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;
3. если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;
4. если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Расстояние от точки до прямой – перпендикуляр, проведенный от этой точки к данной прямой.
Расстояние между параллельными прямыми – перпендикуляр, проведенный от произвольной точки на одной прямой ко второй прямой.
Четырехугольник – геометрическая фигура, состоящая из 4 сторон и 4 углов.
Сумма углов выпуклого многоугольника равна (n-2)*180, где n – количество углов.
Сумма углов любого четырехугольника равна 360 градусов.
Параллелограмм – четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма:
· противоположные углы и стороны равны;
· диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Диагональ – отрезок, соединяющий две противоположные вершины четырехугольника.
Признаки параллелограмма:
· если в четырехугольнике стороны попарно равны, то данный четырехугольник – параллелограмм;
· если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то данный четырехугольник параллелограмм;
· если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то данный четырехугольник параллелограмм.
|
| |
| |
| Heird | Дата: Четверг, 14.12.2017, 22:30 | Сообщение # 4 |
|
Майор
Группа: Проверенные
Сообщений: 97
Награды: 0
Репутация: 0
Статус: Offline
| Трапеция – четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания) а две другие – нет (боковые стороны).
Виды трапеций:
· произвольная;
· прямоугольная – трапеция, у которой два прямых угла;
· равнобедренная – трапеция, у которой боковые стороны равны.
Свойства равнобедренной трапеции:
· углы при основаниях равны;
· диагонали равны.
Ромб – частный случай параллелограмма, у которого все стороны равны.
Свойство ромба:
· у ромба диагонали перпендикулярны и делят углы, из которых они исходят, пополам.
Прямоугольник – частный случай параллелограмма, у которого все углы по 90 градусов.
Свойство прямоугольника:
· у прямоугольника диагонали равны
Признак прямоугольника:
· если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм прямоугольник.
Квадрат – частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны.
Теорема Фалеса – если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.
Площадь многоугольника – часть плоскости, ограниченная сторонами многоугольника.
Свойство площадей:
· равные многоугольники имеют равные площади;
· если многоугольник состоит из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей многоугольников, из которых он состоит.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны: S =
Площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон: S =
Площадь трапеции равна половине произведения основания на высоту: S =
Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S =
Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними: S =
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: S =
Площадь ромба равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S =
Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними:
S =
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S =
Площадь треугольника равна половине произведения двух его смежных сторон на синус угла между ними: S =
Площадь треугольника равна произведению его сторон, деленное на 4 радиуса описанной окружности: S =
Формула Герона, где р – полупериметр: S =
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S =
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе из вершины прямого угла: S =
Площадь равностороннего треугольника, где а – сторона треугольник: S =
|
| |
| |
| Heird | Дата: Четверг, 14.12.2017, 22:31 | Сообщение # 5 |
|
Майор
Группа: Проверенные
Сообщений: 97
Награды: 0
Репутация: 0
Статус: Offline
| Высота, медиана, биссектриса равностороннего треугольника, где а – сторона треугольника: h =
Площадь круга, где r – радиус: S =
Длина окружности, где r – радиус: C = 2
Длина дуги окружности, где r – радиус, α – грудасная мера дуги:
Площадь кругового сектора, где r – радиус, α – грудасная мера дуги:
Площадь правильного шестиугольника, где а – сторона шестиугольника: S =
Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь можно найти как половина произведения периметра на радиус этой окружности: S =
Свойства площадей треугольников:
· если два треугольника имеют равные высоты, то их площади относятся как основания;
· если два треугольника имеют пару равных углов, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих эти углы.
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Обратная теорема Пифагора: если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то данный треугольник – прямоугольный.
Формула для нахождения гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника: , где х – катет равнобедренного прямоугольного треугольника.
Формула для нахождения диагонали квадрата: , где х – сторона квадрата.
Отношение двух величин – деление одной величины на другую (дробь).
Пропорция – равенство нескольких дробей.
Основное свойство пропорции: *d = c*b
Подобные треугольники – треугольники, у которых углы равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
Сходственные стороны – стороны двух подобных треугольников, расположенные напротив равных углов.
Коэффициент подобия – отношение двух сходственных сторон подобных треугольников.
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Коэффициент подобия равных треугольников равен единице.
Теорема о биссектрисе треугольника: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Признаки подобия треугольников:
1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны;
2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны;
3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Теорема о средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна противоположной стороне и равна ее половине.
Среднее арифметическое для нескольких величин равно сумме этих величин, деленной на их количество.
Среднее геометрическое (пропорциональное) для нескольких величин равно квадратному корню из их произведения.
|
| |
| |
| Heird | Дата: Четверг, 14.12.2017, 22:31 | Сообщение # 6 |
|
Майор
Группа: Проверенные
Сообщений: 97
Награды: 0
Репутация: 0
Статус: Offline
|
Поиск Лекций
Теория по геометрии 7-9 класс
12
Сноубордические перчатки
trial-sport.ru
Ликвидация зимних коллекций прошлых лет. Скидки до 75%!
Каталог товаров
Акции и скидки
Адреса магазинов
Получи карту
Скрыть рекламу:
Не интересуюсь этой темой / Уже купил
Навязчивое и надоело
Сомнительного содержания или спам
Мешает просмотру контента
Спасибо, объявление скрыто.
Что случилось в Лобне?
yandex.ru
Происшествия и чрезвычайные ситуации в Лобне?
Скрыть рекламу:
Не интересуюсь этой темой / Уже купил
Навязчивое и надоело
Сомнительного содержания или спам
Мешает просмотру контента
Спасибо, объявление скрыто.
Яндекс.Директ
Виды углов:
· острый угол – от 0 до 90 градусов;
· прямой угол – равен 90 градусам;
· тупой угол – от 90 до 180 градусов;
· развернутый угол (прямая) – равен 180 градусам.
Смежные углы – два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением друг друга.
Свойство смежных углов:
· сумма смежных углов равна 180 градусам.
Вертикальные углы – два угла, у которых стороны являются продолжением друг друга.
Свойство вертикальных углов:
· вертикальные углы равны.
Перпендикулярные прямые – прямые пересекающиеся под углом 90 градусов.
Перпендикуляр – отрезок, проведенный из точки к прямой под углом 90 градусов.
Теорема о перпендикуляре: из точки, не лежащей на прямой можно провести перпендикуляр к этой прямой и при том только один.
Периметр многоугольника – сумма длин всех его сторон.
Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех сторон и трех углов.
Виды треугольников:
· остроугольный треугольник – все три угла острые;
· прямоугольный треугольник – один угол прямой и два угла острые;
· тупоугольный треугольник – один угол тупой и два угла острые.
Равные треугольники – треугольники, которые можно совместить наложением.
Свойства равных треугольников:
· если два треугольника равны, то их элементы (углы и стороны) попарно равны;
· в равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы и наоборот, напротив равных углов лежат равные стороны.
Признаки равенства треугольников:
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны;
2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны;
3. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий угол пополам.
Медиана – отрезок, выходящий из вершины треугольника к противоположной стороне и делящий эту сторону пополам.
Высота – отрезок, выходящий из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, под углом 90 градусов.
Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны, а третья является основанием.
Свойства равнобедренного треугольника:
· углы при основании равны;
· биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.
Свойства равностороннего треугольника:
· углы равны по 60 градусов;
· биссектриса равностороннего треугольника, проведенная к любой стороне, является медианой и высотой.
Параллельные прямые – прямые, которые не пересекаются.
Секущая – прямая, пересекающая параллельные прямые.
Виды углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей:
· накрест-лежащие;
· соответственные;
· односторонние.
Свойства параллельных прямых:
· при пересечении параллельных прямых секущей накрест-лежащие углы равны;
· при пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны;
· при пересечении параллельных прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам.
Признаки параллельности прямых:
· если при пересечении двух прямых секущей накрест-лежащие углы равны, то прямые параллельны;
· если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны;
· если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам, то прямые параллельны.
Аксиома о параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и при том только одну.
Следствия из аксиомы:
· если секущая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересечет и вторую параллельную прямую;
· если каждая из двух прямых параллельна третьей, то они параллельны между собой.
Теорема о сумме углов треугольника: сумма углов треугольника равна 180 градусам.
Внешний угол треугольника – угол, смежный с одним из углов треугольника.
Свойство внешнего угла треугольника:
· внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним.
Яндекс.Директ
Купите Samsung Galaxy S8/S8+
Док-станция Samsung DeX в подарок при покупке Galaxy S8 / S8+
Смартфоны Samsung S8/S8+Смартфоны SamsungSamsung Dex в подарок
euroset.ruМосква
От вас ~ 600 м.?
Беговая, д. 2
Интернет-Магазин «Первый Швейный»
С нами легче шить! Швейная техника ведущих мировых брендов. Заказывайте!
Авторизованный дилерДоставка по всей РФГарантияАкции и Распродажи
1sew.ruАдрес и телефонМосква
Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: в треугольнике напротив бОльшей стороны лежит бОльший угол и наоборот, напротив бОльшего угла лежит бОльшая сторона.
Теорема о сторонах треугольника: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один угол равен 90 градусам.
Свойства прямоугольного треугольника:
· сумма острых углов треугольника равна 90 градусам;
· в прямоугольном треугольнике катет, лежащий на против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы;
· если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30 градусов.
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
1. если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;
2. если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;
3. если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны;
4. если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Расстояние от точки до прямой – перпендикуляр, проведенный от этой точки к данной прямой.
Расстояние между параллельными прямыми – перпендикуляр, проведенный от произвольной точки на одной прямой ко второй прямой.
Четырехугольник – геометрическая фигура, состоящая из 4 сторон и 4 углов.
Сумма углов выпуклого многоугольника равна (n-2)*180, где n – количество углов.
Сумма углов любого четырехугольника равна 360 градусов.
Параллелограмм – четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма:
· противоположные углы и стороны равны;
· диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Диагональ – отрезок, соединяющий две противоположные вершины четырехугольника.
Признаки параллелограмма:
· если в четырехугольнике стороны попарно равны, то данный четырехугольник – параллелограмм;
· если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то данный четырехугольник параллелограмм;
· если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то данный четырехугольник параллелограмм.
Трапеция – четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания) а две другие – нет (боковые стороны).
Виды трапеций:
· произвольная;
· прямоугольная – трапеция, у которой два прямых угла;
· равнобедренная – трапеция, у которой боковые стороны равны.
Свойства равнобедренной трапеции:
· углы при основаниях равны;
· диагонали равны.
Ромб – частный случай параллелограмма, у которого все стороны равны.
Свойство ромба:
· у ромба диагонали перпендикулярны и делят углы, из которых они исходят, пополам.
Прямоугольник – частный случай параллелограмма, у которого все углы по 90 градусов.
Свойство прямоугольника:
· у прямоугольника диагонали равны
Признак прямоугольника:
· если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм прямоугольник.
Квадрат – частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны.
Теорема Фалеса – если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.
Площадь многоугольника – часть плоскости, ограниченная сторонами многоугольника.
Свойство площадей:
· равные многоугольники имеют равные площади;
· если многоугольник состоит из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей многоугольников, из которых он состоит.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны: S =
Площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон: S =
Площадь трапеции равна половине произведения основания на высоту: S =
Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S =
Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними: S =
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: S =
Площадь ромба равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S =
Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними:
S =
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S =
Площадь треугольника равна половине произведения двух его смежных сторон на синус угла между ними: S =
Площадь треугольника равна произведению его сторон, деленное на 4 радиуса описанной окружности: S =
Формула Герона, где р – полупериметр: S =
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S =
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе из вершины прямого угла: S =
Площадь равностороннего треугольника, где а – сторона треугольник: S =
Высота, медиана, биссектриса равностороннего треугольника, где а – сторона треугольника: h =
Площадь круга, где r – радиус: S =
Длина окружности, где r – радиус: C = 2
Длина дуги окружности, где r – радиус, α – грудасная мера дуги:
Площадь кругового сектора, где r – радиус, α – грудасная мера дуги:
Площадь правильного шестиугольника, где а – сторона шестиугольника: S =
Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь можно найти как половина произведения периметра на радиус этой окружности: S =
Свойства площадей треугольников:
· если два треугольника имеют равные высоты, то их площади относятся как основания;
· если два треугольника имеют пару равных углов, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих эти углы.
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Обратная теорема Пифагора: если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то данный треугольник – прямоугольный.
Формула для нахождения гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника: , где х – катет равнобедренного прямоугольного треугольника.
Формула для нахождения диагонали квадрата: , где х – сторона квадрата.
Отношение двух величин – деление одной величины на другую (дробь).
Пропорция – равенство нескольких дробей.
Основное свойство пропорции: *d = c*b
Подобные треугольники – треугольники, у которых углы равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
Сходственные стороны – стороны двух подобных треугольников, расположенные напротив равных углов.
Коэффициент подобия – отношение двух сходственных сторон подобных треугольников.
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Коэффициент подобия равных треугольников равен единице.
Теорема о биссектрисе треугольника: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Признаки подобия треугольников:
1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны;
2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны;
3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Теорема о средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна противоположной стороне и равна ее половине.
Среднее арифметическое для нескольких величин равно сумме этих величин, деленной на их количество.
Среднее геометрическое (пропорциональное) для нескольких величин равно квадратному корню из их произведения.
Свойства среднего геометрического в прямоугольных треугольниках:
· высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое для отрезков, на которые гипотенуза делится этой высотой;
· катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между этим катетом и высотой, проведенной к гипотенузе.
Синус острого угла прямоугольного треугольника – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус острого угла прямоугольного треугольника – отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс острого угла прямоугольного треугольника – отношение прилежащего катета к прилежащему.
Основное тригонометрическое тождество: sin2(a) + cos2(a) = 1
Тригонометрические формулы:
·
·
Табличные углы:
300 450 600
sin
cos
tg
ctg
В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого
В прямоугольном треугольнике косинус одного острого угла равен синусу другого
В прямоугольном треугольнике тангенс одного острого угла равен котангенсу другого
В прямоугольном треугольнике котангенс одного острого угла равен тангенсу другого
Синусы смежных углов равны
Косинусы смежных углов равны с противоположными знаками
Тангенсы смежных углов равны с противоположными знаками
Котангенсы смежных углов равны с противоположными знаками
Окружность – множество точек, равноудаленных от одной точки (центр окружности).
Радиус – отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.
Хорда – отрезок, соединяющий любые две точки на окружности.
Диаметр – хорда, проходящая через центр окружности.
Соотношение диаметра и радиуса – диаметр равен двум радиусам.
Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общих точки.
Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Теоремы о касательных:
1) Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
2) Отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
|
| |
| |
| Heird | Дата: Четверг, 14.12.2017, 22:32 | Сообщение # 7 |
|
Майор
Группа: Проверенные
Сообщений: 97
Награды: 0
Репутация: 0
Статус: Offline
| Теорема о хордах:
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны пересекают окружность.
Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности, а его стороны пересекают окружность.
Дуга – часть окружности, ограниченная с двух сторон.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.
Следствия из измерений центрального и вписанного углов:
1) вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу;
2) если вписанные углы опираются на одну и ту же дугу, то они равны;
3) вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90 градусов.
Серединный перпендикуляр – прямая, проходящая через середину отрезка под углом 90 градусов.
Четыре замечательные точки треугольника:
· биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;
· медианы треугольника пересекаются в одной точке;
· высоты треугольника пересекаются в одной точке;
· серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.
Теорема о биссектрисе:
Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.
Теорема о медианах:
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Теорема о серединном перпендикуляре:
Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, проведенному к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.
Вписанная окружность – окружность, касающаяся всех сторон фигуры.
Описанная окружность – окружность, проходящая через каждую вершину фигуры.
|
| |
| |
| Heird | Дата: Четверг, 14.12.2017, 22:33 | Сообщение # 8 |
|
Майор
Группа: Проверенные
Сообщений: 97
Награды: 0
Репутация: 0
Статус: Offline
| Если в четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в данный четырехугольник можно вписать окружность.
Если в четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусов, то вокруг данного четырехугольника можно описать окружность.
Вектор – это направленный отрезок.
Длина вектора – длина отрезка, задающего вектор.
Нулевой вектор – это точка.
Коллинеарные векторы – векторы которые лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
Сонаправленные векторы – коллинеарные векторы, которые имеют одинаковое направление.
Противоположно направленные векторы – коллинеарные векторы, которые имеют противоположное направление.
Равные векторы – векторы, которые имеют равные длины и направление.
Для сложения или вычитания векторов используют правило треугольника, параллелограмма, многоугольника (стр 198-203).
Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.
Свойства средней линии трапеции:
· Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
· Средняя линия трапеции равна полу сумме оснований.
Теорема о разложении вектора: на плоскости любой вектор можно разложить на сумму двух неколлинеарных векторов, причем коэффициенты разложения определяются единственным способом.
Чтобы найти координаты вектора, надо из координат конца вычесть координаты начала вектора.
Радиус вектор – вектор, имеющий начало в точке пересечения координатных плоскостей.
Координаты радиус вектора равны координатам его конца.
Координаты середины отрезка равны полу сумме координат конца и начала.
Длинна вектора находится как корень квадратный из суммы квадратов его координат.
Расстояние между двумя точками находится как сумма квадратных корней из квадратов разности их координат.
Уравнение окружности: (Х-Х0)2+(Y-Y0)2=r2
Уравнение прямой: aX+bY+c=0
Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов и их отношение равно радиусу описанной окружности в квадрате.
Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус их удвоенное произведение на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю если они перпендикулярны.
Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их координат.
Косинус угла между векторами а(X1;Y1) и b(X2;Y2) находится по формуле:
Угол правильного n-угольника равен:
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность и при том только одну.
В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и при том только одну.
Центры вписанной и описанной окружностей в правильный многоугольник совпадают.
Окружность вписаннаяв правильный многоугольник касается середин его сторон.
Формула для нахождения стороны правильного n-угольника через радиус описпнной вокруг него окружности:
Формула для нахождения радиуса вписанной в n-угольник окружности через радиус описанной окружности:
|
| |
| |
