Игральную кость подбросили 5 раз, найдите математическое ожидание дисперсию среднее квадратическое отклонение числа невыпадения единицы.
Решение и ответ на задачу
Пусть X -- случайная величина, равная 1 при выпадении единицы (вероятность p=1/6) и равная 0 при выпадении чего-то другого (вероятность q=1−p=5/6). Мы бросаем кубик независимо 5 раз. Это значит, что у нас есть 5 независимых одинаково распределённых величин. Их сумма X1+⋯+X5 равна числу выпавших единиц.
Очевидно, что MX=p и DX=MX2−(MX)2=p−p2=pq с учётом того, что X2=X. Теперь пользуемся аддитивностью матожидания: M(X1+⋯+X5)=5MX=1. Это отражает тот факт, что при 5 бросаниях единица выпадает в среднем один раз (как и все остальные значения).
Дисперсия независимых случайных величин также аддитивна, и получается D(X1+⋯+X5)=5DX=6pq=q=5/6.
Вторая часть может быть решена независимо, через классическую вероятность. Если шестёрок не было, то это 56 случаев из 66, то есть (56)6. Подсчёт на калькуляторе даёт 1562546656=0,3348..., что меньше 1/2. Значит, вероятность выпадения хотя бы одной шестёрки больше.
