Учебник с задачами, примерами и ответами по ФГОС 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015 год
Данный решебник и готовые домашние задания по геометрии предназначены для учителей и учеников 7 класса средней школы для проверки своих знаний предмета, а также для помощи в решении домашних заданий.
Преподаватели математики и геометрии с помощью данного учебника смогут легко и быстро проверять ответы на домашние работы у своих учеников, а так же подготовиться к уроку.
Родители учеников могут так же проверять своих детей, на сколько правильно они сделали домашнюю работу.
Глава I. Начальные геометрические сведения. §1 Прямая и отрезок
1 Проведите прямую, обозначьте ее буквой а и отметьте точки A и B, лежащие на этой прямой, и точки Р, Q и R, не лежащие на ней. Опишите взаимное расположение точек А, В, Р, Q, R и прямой а, используя символы ∈ и ∉.
2 Отметьте три точки A, B и C, не лежащие на одной прямой, и проведите прямые AB, BC и CA.
3 Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.
4 Отметьте точки A, B, C, D так, чтобы точки A, B, C лежали на одной прямой, а точка D не лежала на ней. Через каждые две точки проведите прямую. Сколько получилось прямых?
5 Проведите прямую а и отметьте на ней точки A и B. Отметьте: а) точки М и N, лежащие на отрезке АВ; б) точки Р и Q, лежащие на прямой а, но не лежащие на отрезке АВ; в) точки R и S, не лежащие на прямой а.
6 Проведите прямую и отметьте на ней три точки. Сколько отрезков получилось на прямой?
7 На рисунке 10 изображена прямая, на ней отмечены точки А, В, С и D. Назовите все отрезки: а) на которых лежит точка С; б) на которых не лежит точка B.
8 Проведите прямую, отметьте на ней точки A и B и на отрезке АВ отметьте точку С. а) Среди лучей AB, BC, CA, AC и BA назовите совпадающие лучи; б) назовите луч, который является продолжением луча СА.
9 Начертите три неразвернутых угла и обозначьте их так: ∠AOB, ∠hk, ∠M.
10 Начертите два развернутых угла и обозначьте их буквами.
11 Начертите три луча h, k и I с общим началом. Назовите все углы, образованные данными лучами.
12 Начертите неразвернутый угол hk. Отметьте две точки внутри этого угла, две точки вне этого угла и две точки на сторонах угла.
13 Начертите неразвернутый угол. Отметьте точки А, B, М и N так, чтобы все точки отрезка AB лежали внутри угла, а все точки отрезка MN лежали вне угла.
14 Начертите неразвернутый угол АОВ и проведите: а) луч ОС, который делит угол АОВ на два угла; б) луч OD, который не делит угол АОС на два угла.
15 Сколько неразвернутых углов образуется при пересечении двух прямых?
16 Какие из точек, изображенных на рисунке 17, лежат внутри угла hk, а какие — вне этого угла?
Внутри угла: М, А; вне угла: С, N; на сторонах угла: О, В.
17 Какие из лучей, изображенных на рисунке 18, делят угол АОВ на два угла?
18 На луче с началом О отмечены точки А, В и С так, что точка В лежит между точками О и А, а точка А — между точками О и С. Сравните отрезки OB и ОА, ОС и OA, OB и OC.
По условию задачи отрезок ОВ - часть отрезка ОА, так как точка В лежит между точками О и А. Значит, ОВ<ОА. Аналогично, ОА < ОС и ОВ<ОА< ОС, следовательно, ОВ < ОС.
Ответ: ОВ < ОА, ОА < ОС, ОВ < ОС.
19 Точка О является серединой отрезка AB. Можно ли совместить наложением отрезки: а) ОА и OB; б) ОА и AB?
а) Так как О - середина АВ, то АО = ОВ, а, значит, при наложении они совпадут. б) Отрезки ОА и АВ имеют общий конец А, но так как их другие концы не совпадают, эти отрезки не равны, а значит, не совмещаются при наложении.
20 На рисунке 25 отрезки AB, BC, CD и DE равны. Укажите: а) середины отрезков AC, AE и CE; б) отрезок, серединой которого является точка D; в) отрезки, серединой которых является точка С.
а) В - середина отрезка АС; С- середина отрезка АЕ; D - середина отрезка СЕ. б) Отрезок СЕ; отрезки АЕ и BD имеют общую середину С.
21 Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Сравните углы АОВ и АОС.
Ответ: ∠AOB > ∠AOC.
22 Луч I — биссектриса угла hk. Можно ли наложением совместить углы: а) hl и Ik; б) hl и hk?
а) l - биссектриса, значит, ∠hl = ∠lk, и углы при наложении совпадут. б) Т.к. ∠hl < ∠hk, при наложении углы не совпадут.
Ответ: см. решение.
23 На рисунке 26 углы, обозначенные цифрами, равны. Укажите: а) биссектрису каждого из углов АОС, BOF, АОЕ; б) все углы, биссектрисой которых является луч ОС.
а) ОВ - биссектриса ∠AOC; OD - биссектриса ∠BOF; ОС -биссектриса ∠AOE. б) ОС - биссектриса углов BOD и АОЕ.
24 Измерьте ширину и длину учебника геометрии и выразите их в сантиметрах и в миллиметрах.
Длина учебника - 14,5 см = 145 мм; ширина учебника -22см = 220 мм.
25 Измерив толщину учебника геометрии без обложки, найдите толщину одного листа.
Толщина учебника - 1,5 см, количество листов в ней - 170. Значит толщина одного листа
26 Найдите длины всех отрезков, изображенных на рисунке 31, если за единицу измерения принят отрезок: a) KL; б) АВ.
27 Начертите отрезок АВ и луч h. Пользуясь масштабной линейкой, отложите на луче h от его начала отрезки, длины которых равны 2AB, ½AB и ¼AB.
28 Начертите прямую и отметьте на ней точки A и B. С помощью масштабной линейки отметьте точки C и D так, чтобы точка В была серединой отрезка АС, а точка D — серединой отрезка ВС.
29 Начертите прямую АВ. С помощью масштабной линейки отметьте на этой прямой точку С, такую, что АС = 2 см. Сколько таких точек можно отметить на прямой АВ?
Отрезок АС = 2 см можно построить двумя способами. 1) точка С принадлежит лучу АВ, 2) точка С не принадлежит лучу АВ, но принадлежит прямой АВ.
Ответ: две точки.
30 Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину отрезка АС, если АВ = 7,8 см, ВС = 25 мм.
AC = АВ + ВС. Теперь подставляем данные значения АВ и ВС в это равенство, предварительно представив 25 мм как 2,5 см:
Ответ: АС = 10,3 см.
31 Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину отрезка ВС, если: а) АВ = 3,7 см, АС = 7,2 см; б) AB = 4 мм, АС = 4 см.
Из равенства АС = АВ + ВС следует, что ВС = АС -АВ. Подставляем значения для отрезков, данные по условию:
Ответ: а) ВС =3,5 см, б) ВС =3,6 см.
32 Точки А, B и С лежат на одной прямой. Известно, что AB = 12 см, BC= 13,5 см. Какой может быть длина отрезка АС?
Ответ: 25,5 см; 1,5 см.
33 Точки B, D и М лежат на одной прямой. Известно, что BD= 7 см, MD = 16 см. Каким может быть расстояние BM?
34 Точка С — середина отрезка AB, равного 64 см. На луче СА отмечена точка D так, что CD=15см. Найдите длины отрезков BD и DA.
35 Расстояние между Москвой и С.-Петербургом равно 650 км. Город Тверь находится между Москвой и С.-Петербургом в 170 км от Москвы. Найдите расстояние между Тверью и С.-Петербургом, считая, что все три города расположены на одной прямой.
36 Лежат ли точки А, B и С на одной прямой, если АС=5 см, AB = 3 см, BC=4 см?
37 Точка С — середина отрезка AB, точка О — середина отрезка АС. а) Найдите АС, СB, АО и ОB, если AB = 2 см; б) найдите AB, АС, АО и ОB, если СB = 3,2 м.
38 На прямой отмечены точки О, А и B так, что ОА= 12 см, ОB = 9 см. Найдите расстояние между серединами отрезков ОА и ОB, если точка О: а) лежит на отрезке AB; б) не лежит на отрезке AB.
39 Отрезок, длина которого равна а, разделен произвольной точкой на два отрезка. Найдите расстояние между серединами этих отрезков.
40 Отрезок, равный 28 см, разделен на три неравных отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков 16 см. Найдите длину среднего отрезка.
41 Начертите три неразвернутых угла и один развернутый угол и обозначьте их так: ∠AOB, ∠CDE, ∠hk и ∠MNP. С помощью транспортира измерьте углы и запишите результаты измерений.
42 Начертите луч ОА и с помощью транспортира отложите от луча ОА углы АОВ, АОС и AOD так, чтобы ∠AOB = 23°, ∠AOC = 67°, ∠AOD = 138°.
43 Начертите угол, равный 70°, и с помощью транспортира проведите его биссектрису.
44 Начертите угол АОВ и с помощью транспортира проведите луч ОС так, чтобы луч ОА являлся биссектрисой угла ВОС. Всегда ли это выполнимо?
45 Градусные меры двух углов равны. Равны ли сами углы?
46 На рисунке 37 изображены лучи с общим началом О. а) Найдите градусные меры углов АОХ, BOX, АОВ, СОВ, DOX; б) назовите углы, равные 20°; в) назовите равные углы; г) назовите все углы со стороной ОА и найдите их градусные меры.
47 Луч ОЕ делит угол АОВ на два угла. Найдите ∠AOB, если: a) ∠AOE = 44°, ∠EOB = 77°; б) ∠AOE = 12°37', ∠EOB = 108°25'.
48 Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Найдите угол СОВ, если ∠AOB = 78°, а угол АОС на 18° меньше угла BОС.
49 Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Найдите угол АОС, если ∠AOB = 155°, а угол АОС на 15° больше угла СОB.
50 Угол АОВ является частью угла АОС. Известно, что ∠AOC= 108°, ∠AOB = 3∠BOC. Найдите угол АОВ.
54 Начертите острый угол АОВ и на продолжении луча ОВ отметьте точку D. Сравните углы АОВ и AOD.
55 Начертите три угла: острый, прямой и тупой. Для каждого из них начертите смежный угол.
56 Начертите неразвернутый угол hk. Постройте угол h1k1 так, чтобы углы hk и h1k1 были вертикальными.
57 Начертите неразвернутый угол MON и отметьте точку Р внутри угла и точку Q — вне его. С помощью чертежного угольника и линейки через точки Р и Q проведите прямые, перпендикулярные к прямым ОМ и ON.
58 Найдите угол, смежный с углом ABC, если: a) ∠ABC = 111°; б) ∠ABC = 90°; в) ∠ABC= 15°.
59 Один из смежных углов прямой. Каким (острым, прямым, тупым) является другой угол?
60 Верно ли утверждение: если смежные углы равны, то они прямые?
61 Найдите смежные углы hk и kl, если: a) ∠hk меньше ∠kl на 40°; б) ∠hk больше ∠kl на 120°; в) ∠hk больше ∠kl на 47°18'; г) ∠hk = 3∠kl; д) ∠hk : ∠kl = 5 : 4.
62 На рисунке 46 углы BOD и COD равны. Найдите угол AOD, если ∠COB = 148°.
63 Даны два равных угла. Равны ли смежные с ними углы?
64 Найдите изображенные на рисунке 41 углы: а) 1, 3, 4, если ∠2 = 117°; б) 1, 2, 4, если ∠3 = 43°27'.
65 Найдите неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если: а) сумма двух из них равна 114°; б) сумма трех углов равна 220°. 66 На рисунке 41 найдите углы 1, 2, 3, 4, если: a) ∠2 +∠4 = 220°; б) 3(∠1 +∠3) = ∠2 +∠4; в) ∠2-∠1 = 30°. 67 На рисунке 47 изображены три прямые, пересекающиеся в точке О. Найдите сумму углов: ∠1+∠2+∠3. 68 На рисунке 48 ∠AOB = 50°, ∠FOE = 70°. Найдите углы АОС, BOD, СОЕ и COD. 69 Прямая а пересекает стороны угла А в точках Р и Q. Могут ли обе прямые АР и AQ быть перпендикулярными к прямой а? 70 Через точку А, не лежащую на прямой а, проведены три прямые, пересекающие прямую а. Докажите, что по крайней мере две из них не перпендикулярны к прямой а. 71 Отметьте четыре точки так, чтобы никакие три не лежали на одной прямой. Через каждую пару точек проведите прямую. Сколько получилось прямых? 72 Даны четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Сколько точек пересечения имеют эти прямые, если через каждую точку пересечения проходят только две прямые? 73 Сколько неразвернутых углов образуется при пересечении трех прямых, проходящих через одну точку? 74 Точка N лежит на отрезке МР. Расстояние между точками М и Р равно 24 см, а расстояние между точками N и M в два раза больше расстояния между точками N и Р. Найдите расстояние: а) между точками N и Р; б) между точками N и М. 75 Три точки К, L, М лежат на одной прямой, KL = 6 см, LM= 10 см. Каким может быть расстояние КМ? Для каждого из возможных случаев сделайте чертеж.
76 Отрезок АВ длины а разделен точками Р и Q на три отрезка АР, PQ и QB так, что АР = 2PQ = 2QB. Найдите расстояние между: а) точкой А и серединой отрезка QB; б) серединами отрезков АР и QB. 77 Отрезок длины т разделен: а) на три равные части; б) на пять равных частей. Найдите расстояние между серединами крайних частей. 78 Отрезок в 36 см разделен на четыре не равные друг другу части. Расстояние между серединами крайних частей равно 30 см. Найдите расстояние между серединами средних частей. 79* Точки А, В и С лежат на одной прямой, точки М и N — середины отрезков АВ и АС. Докажите, что ВС = 2MN. 80 Известно, что ∠AOB = 35°, ∠BOC = 50°. Найдите угол АОС. Для каждого из возможных случаев сделайте чертеж с помощью линейки и транспортира. 81 Угол hk равен 120°, а угол hm равен 150°. Найдите угол km. Для каждого из возможных случаев сделайте чертеж. 82 Найдите смежные углы, если: а) один из них на 45° больше другого; б) их разность равна 35°. 83 Найдите угол, образованный биссектрисами двух смежных углов. 84 Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой. 85* Докажите, что если биссектрисы углов ABC и CBD перпендикулярны, то точки A, B и D лежат на одной прямой. 86 Даны две пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая на этих прямых. Через точку А проведены прямые m и n так, что m⊥a, n⊥b. Докажите, что прямые m и n не совпадают.
Глава II. Треугольники. §1 Первый признак равенства треугольников
87 Начертите треугольник и обозначьте его вершины буквами М, N и Р. а) Назовите все углы и стороны треугольника; б) с помощью масштабной линейки измерьте стороны и найдите периметр треугольника. 88 Начертите треугольник DEF так, чтобы угол Е был прямым. Назовите: а) стороны, лежащие против углов D, Е, F; б) углы, лежащие против сторон DE, EF, FD); в) углы, прилежащие к сторонам DE, EF, FD. 89 С помощью транспортира и масштабной линейки начертите треугольник ABC, в котором: а) AB = 4,3 см, АС = 2,3 см, ∠A=23°; б) BC = 9 см, BA=6,2см, ∠B = 122°; в) СА = 3см, СB = 4см, ∠C = 90°. 90 Сторона AB треугольника ABC равна 17см, сторона АС вдвое больше стороны AB, а сторона ВС на 10 см меньше стороны АС. Найдите периметр треугольника ABC. 91 Периметр треугольника равен 48 см, а одна из сторон равна 18 см. Найдите две другие стороны, если их разность равна 4,6 см. 92 Периметр одного треугольника больше периметра другого. Могут ли быть равными эти треугольники? 93 Отрезки AB и DC пересекаются в точке B, являющейся серединой каждого из них. а) Докажите, что треугольники ABC и EBD равны; б) найдите углы А и С треугольника ABC, если в треугольнике BDE ∠D = 47°, ∠E= 42°.
94 На рисунке 52 AB=АС, ∠1=∠2. а) Докажите, что треугольники ABD и ACD равны; б) найдите BD и AB, если АС = 15 см, DC = 5 см. 95 На рисунке 53 BC=AD, ∠1=∠2. а) Докажите, что треугольники ABC и CDA равны; б) найдите AB и BC, если AD =17 см, DC = 14 см. 96 На рисунке 54 OA = OD, OB = ОС, ∠1=74°, ∠2=36°. а) Докажите, что треугольники AOB и DOC равны; б) найдите ∠ACD. 97 Отрезки АС и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что ΔABC=ΔCDA. 98 В треугольниках ABC и A1B1C1 AB = А1В1, АС = А1С1, ∠A=∠A1 На сторонах AB и A1B1 отмечены точки Р и Р1 так, что АР =А1Р1. Докажите, что ΔВРС = ΔВ1Р1С1. 99 На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка В лежит на отрезке АС, а точка Е — на отрезке AD, причем AC =AD и АВ =АЕ. Докажите, что ∠CBD = ∠DEC.
100 Начертите прямую а и отметьте точки А и B, лежащие по разные стороны от прямой а. С помощью чертежного угольника проведите из этих точек перпендикуляры к прямой а. 101 Начертите треугольник. С помощью масштабной линейки отметьте середины сторон и проведите медианы треугольника. 102 Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы. 103 Начертите треугольник ABC с тремя острыми углами и треугольник MNP, у которого угол М тупой. С помощью чертежного угольника проведите высоты каждого треугольника. 104 Начертите три равнобедренных треугольника так, чтобы угол, лежащий против основания, был: а) острым; б) прямым; в) тупым. 105 Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а. Перпендикуляры АВ и CD к прямой а равны, а) Докажите, что ∠ABD=∠CDB; б) найдите ∠ABC, если ∠ADB = 44°. 106 Медиана AD треугольника ABC продолжена за сторону ВС на отрезок DE, равный AD, и точка Е соединена с точкой С. а) Докажите, что ΔABD = ΔECD; б) найдите ∠ACE, если ∠ACD = 56°, ∠ABD = 40°. 107 В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника. 108 Периметр равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС равен 40 см, а периметр равностороннего треугольника BCD равен 45 см. Найдите стороны АВ и ВС. 109 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС проведена медиана AM. Найдите медиану AM, если периметр треугольника ABC равен 32 см, а периметр треугольника АВМ равен 24 см.
110 Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный. 111 На рисунке 65 CD = BD, ∠1=∠2. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. 112 На рисунке 66 АВ = ВС, ∠1=130°. Найдите ∠2. 113 Точки М и Р лежат по одну сторону от прямой b. Перпендикуляры MN и PQ, проведенные к прямой b, равны. Точка О — середина отрезка NQ. а) Докажите, что ∠OMP = ∠OPM; б) найдите ∠NOM, если ∠MOP = 105°. 114 Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведенные к равным сторонам, равны. 115 Медиана AM треугольника ABC равна отрезку ВМ. Докажите, что один из углов треугольника ABC равен сумме двух других углов. 116 Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны. 117 На рисунке 67 АВ = BC, CD = DE. Докажите, что ∠BAC = ∠CED. 118 На основании ВС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки М и N так, что BM=CN. Докажите, что: а) ΔВАМ = ΔCAN; б) треугольник AMN равнобедренный. 119 В равнобедренном треугольнике DEK с основанием DK=16см отрезок EF— биссектриса, ∠DEF= 43°. Найдите KF, ∠DEK, ∠EFD. 120 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена медиана BD. На сторонах АВ и СВ отмечены соответственно точки E и F так, что АЕ=CF. Докажите, что: a) ΔBDE = ΔBDF; б) ΔADE=ΔCDF.
§3 Второй и третий признаки равенства треугольников
121 Отрезки АВ и CD пересекаются в середине О отрезка АВ, ∠OAD = ∠OBC. а) Докажите, что ΔСВО=ΔDAO; б) найдите ВС и СО, если CD=26 см, AD= 15 см. 122 На рисунке 53 (с. 31) ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4. а) Докажите, что ΔАВС=ΔCDА; б) найдите АВ и ВС, если AD= 19 см, CD=11 см. 123 На биссектрисе угла А взята точка D, а на сторонах этого угла— точки В и С такие, что ∠ADB=∠ADC. Докажите, что BD=CD. 124 По данным рисунка 73 докажите, что ОР=OT, ∠P=∠T. 125 На рисунке 74 ∠DAC=∠DBC, АО =ВО. Докажите, что ∠C=∠D и AC=BD. 126 На рисунке 74 ∠DAB = ∠CBA, ∠CAB = ∠DBA, AC = 13 см. Найдите BD. 127 В треугольниках ABC и А1В1С1 АВ=А1В1, ВС=В1С1, ∠B =∠B1. На сторонах АВ и A1B1 отмечены точки D и D1 так, что ∠ACD = ∠A1C1D1. Докажите, что ΔBCD = ΔB1C1D1. 128 Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведенные к соответственно равным сторонам, равны. 129 Отрезки АС и BD пересекаются в середине О отрезка AC, ∠BCO = ∠DAO. Докажите, что ΔВОА=ΔDОС. 130 В треугольниках ABC и А1В1С1 отрезки СО и С1О1 — медианы, ВС=В1С1, ∠B = ∠B1 и ∠C=∠C1. Докажите, что: а) ΔАСO=ΔА1С1O1; б) ΔВСO=ΔВ1С1O1.
131 В треугольниках DEF и MN PEF=NP, DF=MP и ∠F=∠P. Биссектрисы углов Е и D пересекаются в точке О, а биссектрисы углов М и N в точке К. Докажите, что ∠DOE=∠MKN. 132 Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN — равнобедренный. 133 Докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольник — равнобедренный. 134 Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если основание и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого треугольника. 135 Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то треугольники равны.
